Aplicaciones

Problemas

En un grupo de 100 persona se encuentra que hay 95 aficionados al futbol, 75 aficionados a las carreras de fórmula 1, 80 aficionados al balonmano y 85 aficionados al ciclismo. Calcular el número mínimo de personas aficionadas a los cuatro deportes..

El problema se puede resolver como sigue: Tomamos la nomenclatura: F = 95 ; A = 75 ; B = 80 ; C = 85 y consideramos los conjuntos F, B y C.
Veamos el número de personas aficionadas a los tres deportes, aplicando la relación entre las medidas de los conjuntos, es decir, entre sus cardinales: 

Card(F∪B∪C)=CardF+CardB+CardC−Card(F∩B)−Card(F∩C)−

−Card(B∩C)+Card(F∩B∩C)

Ahora bien, como hay 100 personas, el número máximo de ellas que puede haber aficionadas al mismo tiempo al futbol y al balonmano es de 100. De ahí, que podamos hacer: 

Card(F∩B)=CardF+CardB−Card(F∪B)=95+80−100=75

Y análogamente para los valores mínimos de aficionados al balonmano y al ciclismo: 

Card(B∩C)=CardB+CardC−Card(B∪C)=80+85−100=65

Y para los valores mínimos de aficionados al futbol y al ciclismo 

Card(F∩C)=CardF+CardC−Card(F∪C)=95+85−100=80

Por consiguiente, el número mínimo de personas aficionadas al futbol, al balonmano y al ciclismo es: 

Card(F∩B∩C)=Card(F∪B∪C)−CardF−CardB−CardC+Card(F∩B)

+Card(F∩C)+Card(B∩C)=100−95−85−80+80+75+65=60

Por lo tanto, si a este conjunto de personas aficionadas al futbol, balonmano y ciclismo, le llamamos D, la solución del problema vendrá dada por: 

Card(D∪A)=Card(D)+Card(A)−card(D∩A)

Card(D∩A)=Card(D)+Card(A)−card(D∪A)=−100+65+75=35

Luego, como se cumple que: 

D∩A=F∩B∩C∩A

Tenemos que el número mínimo de personas aficionadas a los cuatro deportes es de 35