MATEMATICAS: 2015

domingo, 7 de junio de 2015

Aplicaciones

Problemas

En un grupo de 100 persona se encuentra que hay 95 aficionados al futbol, 75 aficionados a las carreras de fórmula 1, 80 aficionados al balonmano y 85 aficionados al ciclismo. Calcular el número mínimo de personas aficionadas a los cuatro deportes..

El problema se puede resolver como sigue: Tomamos la nomenclatura: F = 95 ; A = 75 ; B = 80 ; C = 85 y consideramos los conjuntos F, B y C.
Veamos el número de personas aficionadas a los tres deportes, aplicando la relación entre las medidas de los conjuntos, es decir, entre sus cardinales:

Card(F∪B∪C)=CardF+CardB+CardC−Card(F∩B)−Card(F∩C)−

−Card(B∩C)+Card(F∩B∩C)

Ahora bien, como hay 100 personas, el número máximo de ellas que puede haber aficionadas al mismo tiempo al futbol y al balonmano es de 100. De ahí, que podamos hacer:

Card(F∩B)=CardF+CardB−Card(F∪B)=95+80−100=75

Y análogamente para los valores mínimos de aficionados al balonmano y al ciclismo:

Card(B∩C)=CardB+CardC−Card(B∪C)=80+85−100=65

Y para los valores mínimos de aficionados al futbol y al ciclismo

Card(F∩C)=CardF+CardC−Card(F∪C)=95+85−100=80

Por consiguiente, el número mínimo de personas aficionadas al futbol, al balonmano y al ciclismo es:

Card(F∩B∩C)=Card(F∪B∪C)−CardF−CardB−CardC+Card(F∩B)

+Card(F∩C)+Card(B∩C)=100−95−85−80+80+75+65=60

Por lo tanto, si a este conjunto de personas aficionadas al futbol, balonmano y ciclismo, le llamamos D, la solución del problema vendrá dada por:

Card(D∪A)=Card(D)+Card(A)−card(D∩A)

Card(D∩A)=Card(D)+Card(A)−card(D∪A)=−100+65+75=35

Luego, como se cumple que:

D∩A=F∩B∩C∩A

Tenemos que el número mínimo de personas aficionadas a los cuatro deportes es de 35

Leyes del álgebra de conjuntos

Clasificación de las leyes del álgebra de conjuntos

miércoles, 3 de junio de 2015

Operaciones entre conjuntos

Unión de Conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la unión de $A$ con $B$ , denotada por $A\cup B$ (que se lee A unión B), por el conjunto
$A\cup B=\{x: x\in A\vee x\in B\}$
En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5\}$ y $B=\{3,4,5,6,7,8\}$ , la unión de ellos es el conjunto
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Propiedades de la unión de conjuntos

La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades

$A\cup A=A$

$A\cup B=B\cup A$

$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

$A\cup\phi=A$

Si $A\subseteq B\rightarrow A\cup B=B$

Intersección de Conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la intersección de $A$ y $B$ , denotada por $A\cap B$ (que se lee A intersección B), por el conjunto
$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$
En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y $B=\{4,5,6,7\}$ , el conjunto intersección es
$A\cap B=\{4,5,6,7\}$
Nota: Dos pares de conjuntos $A$ y $B$ se llaman disjuntos siempre que $A\cap B=\phi$ .

Propiedades de la intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

$A\cap A=A$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

$A\cap\phi=\phi$

Si $A\subseteq B\rightarrow A\cap B=A$

Diferencia de Conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la diferencia de $A$ con $B$ , denotada por $A-B$ (que se lee A menos B), por el conjunto
$A-B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$
En términos prácticos, la diferencia de un conjunto $A$ con un conjunto $B$ , en ese orden, es el conjunto formado por todos los elementos que están en $A$ pero no están en $B$ .

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $B=\{3,5\}$ , entonces el conjunto diferencia de $A$ con $B$ es
$A-B=\{1,2,4,6\}$

Complemento de un Conjunto

Sea $A$ un conjunto dentro de un conjunto universo $U$ . Se define el complemento de $A$ , denotado por $A^c$ (que se lee A complemento), al conjunto
$A^c=\{x:x\notin A\}$
En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $A=\{1,3,5,7,9\}$ , entonces el complemento de $A$ es el conjunto
$A^c=\{0,2,4,6,8\}$

Propiedades del complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

$(A^c)^c=A$

$U^c=\phi$

$\phi^c=U$

$A\subseteq B\rightarrow B^c\subseteq A^c$

Propiedades Combinadas

Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos

$A-B=A\cap B^c$

$A\cap A^c=\phi$

$A\cup A^c=U$

Leyes de distribución

$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$

Leyes de De Morgan

$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$

$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

Conjunto Potencia

En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo. Por ejemplo, el conjunto potencia de $A = {1, 2, 3}$ es:

$\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 3\} \}$

El conjunto potencia de $A$ también se denomina conjunto de las partes de $A$ , o conjunto de partes de $A$ se denota por $P (A)$ o $2 A$ .

domingo, 7 de junio de 2015

Aplicaciones

Problemas

Leyes del álgebra de conjuntos

Clasificación de las leyes del álgebra de conjuntos

miércoles, 3 de junio de 2015

Operaciones entre conjuntos

Unión de Conjuntos

Sean y dos conjuntos. Se define la unión de con , denotada por (que se lee A unión B), por el conjunto En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos y , la unión de ellos es el conjunto

Propiedades de la unión de conjuntos

La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades Si

Intersección de Conjuntos

Sean y dos conjuntos. Se define la intersección de y , denotada por (que se lee A intersección B), por el conjunto En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos y , el conjunto intersección es Nota: Dos pares de conjuntos y se llaman disjuntos siempre que .

Propiedades de la intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades Si

Diferencia de Conjuntos

Sean y dos conjuntos. Se define la diferencia de con , denotada por (que se lee A menos B), por el conjunto En términos prácticos, la diferencia de un conjunto con un conjunto , en ese orden, es el conjunto formado por todos los elementos que están en pero no están en .

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos y , entonces el conjunto diferencia de con es

Complemento de un Conjunto

Sea un conjunto dentro de un conjunto universo . Se define el complemento de , denotado por (que se lee A complemento), al conjunto En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos y , entonces el complemento de es el conjunto

Propiedades del complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

Propiedades Combinadas

Conjunto Potencia

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la unión de $A$ con $B$ , denotada por $A\cup B$ (que se lee A unión B), por el conjunto
$A\cup B=\{x: x\in A\vee x\in B\}$
En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos.

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5\}$ y $B=\{3,4,5,6,7,8\}$ , la unión de ellos es el conjunto
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades

$A\cup A=A$

$A\cup B=B\cup A$

$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

$A\cup\phi=A$

Si $A\subseteq B\rightarrow A\cup B=B$

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y $B=\{4,5,6,7\}$ , el conjunto intersección es
$A\cap B=\{4,5,6,7\}$
Nota: Dos pares de conjuntos $A$ y $B$ se llaman disjuntos siempre que $A\cap B=\phi$ .

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

$A\cap A=A$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

$A\cap\phi=\phi$

Si $A\subseteq B\rightarrow A\cap B=A$

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $B=\{3,5\}$ , entonces el conjunto diferencia de $A$ con $B$ es
$A-B=\{1,2,4,6\}$

Sea $A$ un conjunto dentro de un conjunto universo $U$ . Se define el complemento de $A$ , denotado por $A^c$ (que se lee A complemento), al conjunto
$A^c=\{x:x\notin A\}$
En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Si tenemos los conjuntos $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $A=\{1,3,5,7,9\}$ , entonces el complemento de $A$ es el conjunto
$A^c=\{0,2,4,6,8\}$

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

$(A^c)^c=A$

$U^c=\phi$

$\phi^c=U$

$A\subseteq B\rightarrow B^c\subseteq A^c$